Несмотря на то, что математика – царица наук, а арифметика – царица математики, самую большую сложность в изучении у школьников вызывает геометрия. Планиметрия – раздел геометрии, который изучает плоские фигуры. Одной из таких фигур является ромб. Большинство задач по решению четырехугольников сводятся к нахождению их площадей. Систематизируем известные формулы и различные способы расчета площади ромба.
Ромб – это параллелограмм, все четыре стороны которого равны. Напомним, что у параллелограмма есть четыре угла и четыре попарно параллельные равные стороны. Как любой четырехугольник, ромб имеет ряд свойств, которые сводятся к следующим: при пересечении диагонали образуют угол, равный 90 градусов (AC ⊥ BD), точка пересечения делит каждую на два равных отрезка. Диагонали ромба также являются биссектрисами его углов (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD и т. д.). Отсюда следует, что они делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. Сумма длин диагоналей, возведенных во вторую степень, равна длине стороны во второй степени, умноженной на 4, т.е. BD 2 + AC 2 = 4AB 2 . Существует множество методов, используемых в планиметрии для расчета площади ромба, применение которых зависит от исходных данных. Если известны длина стороны и любой угол, можно воспользоваться следующей формулой: площадь ромба равна квадрату стороны, умноженному на синус угла. Из курса тригонометрии известно, что sin (π – α) = sin α, а значит, в расчетах можно использовать синус любого угла – как острого, так и тупого. Частным случаем является ромб, у которого все углы прямые. Это квадрат. Известно, что синус прямого угла равен единице, поэтому площадь квадрата равна длине его стороны, возведенной во вторую степень.
Как видите, существует множество способов для нахождения площади ромба. Конечно, чтобы запомнить каждый из них, потребуется терпение, внимательность и, конечно же, время. Но в дальнейшем вы сможете легко выбрать метод, подходящий для вашей задачи, и убедитесь, что геометрия – это несложно.
– это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Ромб с прямыми углами называется квадратом и считается частным случаем ромба. Найти площадь ромба можно различными способами, используя все его элементы – стороны, диагонали, высоту. Классической формулой площади ромба считается расчет значения через высоту.
Пример расчета площади ромба по этой формуле очень прост. Необходимо только подставить данные и высчитать площадь.
Площадь ромба через диагонали
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам.
Формула площади ромба через диагонали представляет собой произведение его диагоналей, разделенное на 2.
Рассмотрим пример расчета площади ромба через диагонали. Пусть дан ромб с диагоналями
d1
=5 см и d2
=4. Найдем площадь.
Формула площади ромба через стороны подразумевает и применение других элементов. Если в ромб вписана окружность, то площадь фигуры можно просчитать по сторонам и ее радиусу:
Пример расчета площади ромба через стороны также весьма прост. Требуется только просчитать радиус вписанной окружности. Его можно вывести из теоремы Пифагора и по формуле .
Площади ромба через сторону и угол
Формула площади ромба через сторону и угол используется очень часто.
Рассмотрим пример расчета площади ромба через сторону и угол.
Задача:
Дан ромб, диагонали которого равны d1
=4 см,d2
=6 см. Острый угол равен α
= 30°. Найдите площадь фигуры через сторону и угол.
Для начала найдем сторону ромба. Используем для этого теорему Пифагора. Мы знаем, что в точке пересечения диагонали делятся пополам и образуют прямой угол. Следовательно: 
Подставим значения:
Теперь мы знаем сторону и угол. Найдем площадь:
Математика — школьный предмет, который изучается всеми, независимо от профиля класса. Однако она не всеми любима. Порой незаслуженно. Эта наука постоянно подбрасывает ученикам задачи, которые позволяют их мозгу развиваться. Математика отлично справляется с тем, чтобы не дать мыслительным возможностям детей угаснуть. Особенно хорошо с этим справляется один из ее разделов - геометрия.
Любая из тем, которые в ней изучаются, достойна внимания и уважения. Геометрия — это способ развить пространственное воображение. Примером может служить тема о площадях фигур, в частности ромбов. Эти задачки могут завести в тупик, если не разобраться в деталях. Потому что возможны разные подходы к поиску ответа. Кому-то проще запомнить разные варианты формул, которые написаны ниже, а кто-то способен сам их получить из ранее усвоенного материала. В любом случае безвыходных ситуаций не бывает. Если немного подумать, то решение обязательно найдется.
Ответить на этот вопрос нужно, чтобы понять принципы получения формул и ход рассуждения в задачах. Ведь чтобы разобраться в том, как найти площадь ромба, нужно отчетливо понимать, что это за фигура и каковы ее свойства.
Для удобства рассмотрения параллелограмм, который является четырехугольником с попарно параллельными сторонами, примем за "родителя". У него есть двое "детей": прямоугольник и ромб. Оба они являются параллелограммами. Если продолжать параллели, то это - "фамилия". Значит, для того чтобы найти площадь ромба, можно воспользоваться уже изученной формулой для параллелограмма.
Но, как и все дети, ромб имеет и нечто свое. Это немного отличает его от "родителя" и позволяет рассматривать как отдельную фигуру. Ведь прямоугольник не ромб. Возвращаясь к параллелям - они как брат и сестра. В них много общего, но они все же различаются. Эти отличия — их особенные свойства, которыми нужно пользоваться. Было бы странно знать о них и не применять в решении задач.
Если продолжить аналогии и вспомнить еще одну фигуру - квадрат, то она будет продолжением ромба и прямоугольника. В этой фигуре объединены все свойства и одного, и другого.
Свойства ромба
Их пять и они перечислены ниже. Причем некоторые из них повторяют свойства параллелограмма, а какие-то присущи только рассматриваемой фигуре.
- Ромб — это параллелограмм, который принял особую форму. Из этого следует, что его стороны являются попарно параллельными и равными. Причем равны они непросто попарно, а все. Как это было бы у квадрата.
- Диагонали этого четырехугольника пересекаются под углом, который равен 90º. Это удобно и во многом упрощает ход рассуждений при решении задач.
- Другое свойство диагоналей: каждая из них делится точкой пересечения на равные отрезки.
- Лежащие друг напротив друга углы у этой фигуры равны.
- И последнее свойство: диагонали ромба совпадают с биссектрисами углов.
Обозначения, которые приняты в рассмотренных формулах
В математике полагается решать задачи с использованием общих буквенных выражений, которые называются формулами. Тема про площади не является исключением.
Для того чтобы перейти к записям, которые расскажут, как найти площадь ромба, нужно договориться о буквах, которыми заменены все числовые значения элементов фигуры.
Теперь пришла пора написания формул.
Среди данных задачи - только диагонали ромба
Правило утверждает, что для нахождения неизвестной величины нужно перемножить длины диагоналей, а потом произведение разделить пополам. Результат деления — это и есть площадь ромба через диагонали.
Формула для этого случая будет выглядеть так:
Пусть эта формула будет идти под номером 1.
В задаче даны сторона ромба и его высота
Чтобы вычислить площадь, потребуется найти произведение этих двух величин. Пожалуй, это самая простая формула. Причем она известна еще из темы про площадь параллелограмма. Там такая формула уже изучалась.
Математическая запись:
Номер этой формулы — 2.
Известны сторона и острый угол
В этом случае нужно возвести в квадрат величину стороны ромба. Потом найти синус угла. И третьим действием вычислить произведение двух образовавшихся величин. Ответом будет площадь ромба.
Буквенное выражение:
Его порядковый номер — 3.
Данные величины: радиус вписанной окружности и острый угол
Для вычисления площади ромба нужно найти квадрат радиуса и умножить его на 4. Определить значение синуса угла. Потом разделить произведение на вторую величину.
Формула принимает такой вид:
Она будет пронумерована цифрой 4.
В задаче фигурируют сторона и радиус вписанной окружности
Чтобы определить, как найти площадь ромба, потребуется вычислить произведение данных величин и числа 2.
Формула для этой задачи будет выглядеть так:
Ее номер по порядку — 5.
Примеры возможных заданий
Задача 1
Одна из диагоналей ромба равна 8, а другая — 14 см. Требуется найти площадь фигуры и длину ее стороны.
Решение
Для нахождения первой величины потребуется формула 1, в которой Д 1 = 8, Д 2 = 14. Тогда площадь вычисляется так: (8 * 14) / 2 = 56 (см 2).
Диагонали делят ромб на 4 треугольника. Каждый из них обязательно будет прямоугольным. Этим нужно воспользоваться, чтобы определить значение второй неизвестной. Сторона ромба станет гипотенузой треугольника, а катетами будут половины диагоналей.
Тогда а 2 = (Д 1 /2) 2 + (Д 2 /2) 2 . После подстановки всех значений получается: а 2 = (8 / 2) 2 + (14 / 2) 2 = 16 + 49 = 65. Но это квадрат стороны. Значит, нужно извлечь квадратный корень из 65. Тогда длина стороны будет приблизительно равна 8,06 см.
Ответ: площадь 56 см 2 , а сторона 8,06 см.
Задача 2
Сторона ромба имеет значение, равное 5,5 дм, а его высота — 3,5 дм. Найти площадь фигуры.
Решение
Для того чтобы найти ответ нужна будет формула 2. В ней а = 5,5, Н = 3,5. Тогда, заменив в формуле буквы на числа, получим, что искомая величина равна 5,5 * 3,5 = 19,25 (дм 2).
Ответ: площадь ромба равна 19,25 дм 2 .
Задача 3
Острый угол у некоторого ромба равен 60º, а его меньшая диагональ — 12 см. Требуется вычислить его площадь.
Решение
Чтобы получить результат, нужна будет формула под номером 3. В ней вместо А будет 60, а значение а неизвестно.
Для нахождения стороны ромба потребуется вспомнить теорему синусов. В прямоугольном треугольнике а будет гипотенузой, меньший катет равен половине диагонали, а угол делится пополам (известно из свойства, где упоминается биссектриса).
Тогда сторона а будет равна произведению катета на синус угла.
Катет нужно вычислить как Д/2 = 12/2 = 6 (см). Синус(А/2) будет равен его значению для угла 30º, то есть 1/2.
Выполнив несложные вычисления, получим такое значение стороны ромба: а = 3 (см).
Теперь площадь — это произведение 3 2 и синуса 60º, то есть 9 * (√3)/2 = (9√3)/2 (см 2).
Ответ: искомая величина равна (9√3)/2 см 2 .
Итоги: все возможно
Здесь были рассмотрены некоторые варианты того, как найти площадь ромба. Если в задаче напрямую непонятно, какую формулу использовать, то нужно немного подумать и попробовать связать ранее изученные темы. В других темах обязательно найдется подсказка, которая поможет связать известные величины с теми, что есть в формулах. И задача решится. Главное - помнить, что все раньше изученное можно и нужно использовать.
Кроме предложенных заданий, возможны и обратные задачи, когда по площади фигуры нужно вычислить значение какого-либо элемента ромба. Тогда нужно воспользоваться тем уравнением, которое ближе всего к условию. А потом преобразовать формулу, оставив в левой части равенства неизвестную величину.
Определение ромба
Ромб - это параллелограмм, в котором все стороны равны друг другу.
Онлайн-калькулятор
Если стороны ромба образуют прямой угол, то получим квадрат .
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
Площадь ромба, как и площади большинства геометрических фигур, можно найти несколькими способами. Разберемся в их сути и рассмотрим примеры решений.
Формула площади ромба по стороне и высоте
Пусть нам дан ромб со стороной a a a и высотой h h h , проведенной к этой стороне. Так как ромб это параллелограмм, то его площадь мы находим так же, как и площадь параллелограмма.
S = a ⋅ h S=a\cdot h S = a ⋅ h
A a
a
- сторона;
h h
h
- высота, опущенная на сторону a a
a
.
Решим простой пример.
ПримерСторона ромба равна 5 (см.). Высота, опущенная к этой стороне, имеет длину 2 (см.). Найти площадь ромба S S S .
Решение
A = 5 a=5
a
=
5
h = 2 h=2
h
=
2
Пользуемся нашей формулой и вычисляем:
S = a ⋅ h = 5 ⋅ 2 = 10 S=a\cdot h=5\cdot 2=10
S
=
a
⋅
h
=
5
⋅
2
=
1
0
(см. кв.)
Ответ: 10 см. кв.
Формула площади ромба через диагонали
Здесь все так же просто. Нужно просто взять половину произведения диагоналей и получить площадь.
S = 1 2 ⋅ d 1 ⋅ d 2 S=\frac{1}{2}\cdot d_1\cdot d_2 S = 2 1 ⋅ d 1 ⋅ d 2
D 1 , d 2 d_1, d_2 d 1 , d 2 - диагонали ромба.
ПримерОдна из диагоналей ромба равна 7 (см.), а другая в 2 раза больше первой. Найдите площадь фигуры.
Решение
D 1 = 7 d_1=7
d
1
=
7
d 2 = 2 ⋅ d 1 d_2=2\cdot d_1
d
2
=
2
⋅
d
1
Найдем вторую диагональ:
d 2 = 2 ⋅ d 1 = 2 ⋅ 7 = 14 d_2=2\cdot d_1=2\cdot 7=14
d
2
=
2
⋅
d
1
=
2
⋅
7
=
1
4
Тогда площадь:
S = 1 2 ⋅ 7 ⋅ 14 = 49 S=\frac{1}{2}\cdot7\cdot14=49
S
=
2
1
⋅
7
⋅
1
4
=
4
9
(см. кв.)
Ответ: 49 см. кв.
Формула площади ромба через две стороны и угол между ними
S = a 2 ⋅ sin (α) S=a^2\cdot\sin(\alpha) S = a 2 ⋅ sin (α )
A a
a
- сторона ромба;
α \alpha
α
- любой угол ромба.
Найти площадь ромба, если каждая из его сторон равна 10 см, а угол между двумя смежными сторонами равен 30 градусам.
Решение
A = 10 a=10
a
=
1
0
α = 3 0 ∘ \alpha=30^{\circ}
α
=
3
0
∘
По формуле получаем:
S = a 2 ⋅ sin (α) = 100 ⋅ sin (3 0 ∘) = 50 S=a^2\cdot\sin(\alpha)=100\cdot\sin(30^{\circ})=50
S
=
a
2
⋅
sin
(α
)
=
1
0
0
⋅
sin
(3
0
∘
)
=
5
0
(см. кв.)
Ответ: 50 см. кв.
Формула площади ромба по радиусу вписанной окружности и углу
S = 4 ⋅ r 2 sin (α) S=\frac{4\cdot r^2}{\sin(\alpha)} S = sin (α ) 4 ⋅ r 2
R r
r
- радиус вписанной окружности в ромб;
α \alpha
α
- любой угол ромба.
Найти площадь ромба, если угол между основаниями равен 60 градусов, а радиус вписанной окружности - 4 (см.).
Решение
R = 4 r=4
r
=
4
α = 6 0 ∘ \alpha=60^{\circ}
α
=
6
0
∘
S = 4 ⋅ r 2 sin (α) = 4 ⋅ 16 sin (6 0 ∘) ≈ 73.9 S=\frac{4\cdot r^2}{\sin(\alpha)}=\frac{4\cdot 16}{\sin(60^{\circ})}\approx73.9 S = sin (α ) 4 ⋅ r 2 = sin (6 0 ∘ ) 4 ⋅ 1 6 ≈ 7 3 . 9 (см. кв.)
Ответ: 73.9 см. кв.
Формула площади ромба по радиусу вписанной окружности и стороне
S = 2 ⋅ a ⋅ r S=2\cdot a\cdot r S = 2 ⋅ a ⋅ r
A a
a
-сторона ромба;
r r
r
- радиус вписанной окружности в ромб.
Возьмем условие из предыдущей задачи, но пусть вместо угла нам известна сторона ромба, равная 5 см.
Решение
A = 5 a=5
a
=
5
r = 4 r=4
r
=
4
S = 2 ⋅ a ⋅ r = 2 ⋅ 5 ⋅ 4 = 40 S=2\cdot a\cdot r=2\cdot5\cdot4=40 S = 2 ⋅ a ⋅ r = 2 ⋅ 5 ⋅ 4 = 4 0 (см. кв.)
Ответ: 40 см. кв.
Что такое Ромб? Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны.
РОМБ, фигура на плоскости, четырехугольник с равными сторонами. Ромб - частный случай ПАРАЛЛЕЛОГРАММА, у которого или две смежные стороны равны, или диагонали пересекаются под прямым углом, или диагональ делит угол пополам. Ромб с прямыми углами называется квадратом.
Классической формулой площади ромба считается расчет значения через высоту. Площадь ромба равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
1. Площадь ромба равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне:
\[ S = a \cdot h \]
2. Если известна сторона ромба (у ромба все стороны равны) и угол между сторонами, то площадь можно найти по следующей формуле:
\[ S = a^{2} \cdot sin(\alpha) \]
3. Площадь ромба также равна полупроизведению диагоналей, то есть:
\[ S = \dfrac{d_{1} \cdot d_{2} }{2} \]
4. Если известен радиус r окружности, вписанной в ромб, и сторона ромба a , то его площадь вычисляется по формуле:
\[ S = 2 \cdot a \cdot R \]
Свойства ромба
На рисунке выше \(ABCD \) - ромб, \(AC = DB = CD = AD \) . Так как ромб - это параллелограмм, то он обладает всеми свойствами параллелограмма, но так же есть свойства присущие только ромбу.
В любой ромб можно вписать окружность. Центр окружности, вписанной в ромб, является точкой пересечения его диагоналей. Радиус окружности равен половине высоты ромба:
\[ r = \frac{ AH }{2} \]
Свойства ромба
Диагонали ромба перпендикулярны;
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
Признаки ромба
Параллелограмм, диагонали которого пересекаются под прямым углом, есть ромб;
Параллелограмм, диагонали которого являются биссектрисами его углов, есть ромб.
В вашем браузере отключен Javascript.Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!